ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Πότε ένα φαινόμενο ονομάζετε περιοδικό

Ένα φαινόμενο ονομάζετε περιοδικό όταν επαναλαμβάνεται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα.

Τι ονομάζετε ταλάντωση ;

Ταλάντωση ονομάζεται μια περιοδική κίνηση, μεταξύ δυο ακραίων θέσεων

Τι ονομάζετε γραμμική ταλάντωση ;

Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται μια ευθύγραμμη περιοδική κίνηση, μεταξύ δυο ακραίων θέσεων

Τι ονομάζετε γραμμική αρμονική ταλάντωση ;

Γραμμική αρμονική ταλάντωση ονομάζεται μια ευθύγραμμη περιοδική κίνηση, μεταξύ δυο ακραίων θέσεων στην οποία η απομάκρυνση x του κινητού ισούται :

Ποια τα χαρακτηριστικά μεγέθη μίας απλής αρμονικής ταλάντωσης

Τα χαρακτηριστικά μεγέθη μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι :

x_0: Το πλάτος δηλαδή η μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας.

x: Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας μια τυχαία χρονική στιγμή.

Τ: Η περίοδος της ταλάντωσης δηλαδή ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για μια ταλάντωση.

f: Η συχνότητα της ταλάντωσης δηλαδή πόσες ταλαντώσεις κάνει το σώμα στη μονάδα του χρόνου .

ω: Η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης

ωt: Η φάση της ταλάντωσης (είναι κάποια γωνία)

υ₀ : Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

υ: Η ταχύτητα του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή

α₀ : Η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

α: Η επιτάχυνση του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή

F: Η Δύναμη σώματος που βρίσκεται σε απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας

U: Η Δυναμική ενέργεια ταλαντούμενου σώματος που βρίσκεται σε απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας

Κ: Η Κινητική ενέργεια ταλαντούμενου σώματος που βρίσκεται σε απομάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας

Τι ονομάζεται περίοδος T και τι συχνότητα f στην ΓΑΤ; Μονάδες.

Περίοδος Τ ενός κινητού που εκτελεί. ΓΑΤ ονομάζεται ο χρόνος που χρειάζεται το κινητό για να κάνει μια πλήρη ταλάντωση.

Μονάδα περιόδου είναι το 1 sec.

Συχνότητα f ενός κινητού που εκτελεί ΓAT. ονομάζεται ο αριθμός των ταλαντώσεων που διαγράφει το κινητό στη μονάδα του χρόνου.

Δηλαδή :

Μονάδα συχνότητας είναι το 1 HZ=

Ποια η σχέση περιόδου και συχνότητας στην ΓΑΤ και πώς προκύπτει;

Η σχέση είναι

Αν το κινητό κάνει 1 ταλάντωση τότε Ν=1 και t=T άρα:

Ποια η συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα ΓΑΤ; Να αποδειχτεί.

όταν το σώμα βρίσκεται σε τυχαία θέση ,η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε αυτό να είναι αντίθετη(να έχει φορά προς την θέση ισορροπίας) και ανάλογη της απομάκρυνσης

F_ολ=-Dx

Απόδειξη: Ένα σώμα εκτελεί Γ.Α.Τ. Το σώμα αυτό θα έχει επιτάχυνση α=-α₀ημωt=-ω²x₀ημωt.(1) Άρα σε αυτό το σώμα θα ασκείται συνισταμένη δύναμη: F_ολ =mα F_ολ =-mω²x₀ημωt=-mω²x=-Dx , όπου D=mω²

Από τι εξαρτάται η περίοδος στην Γ.Α.Α;

η περίοδος στην Γ.Α.Α δίνεται από τον τύπο:

εξαρτάται:

α)από την μάζα του σώματος που ταλαντώνεται( ανάλογη με την ρίζα της)

β) από την σταθερά επαναφοράς D (αντιστρόφως ανάλογη με την ρίζα του D)

παρατήρηση: στην περίπτωση που το ταλαντούμενου σύστημα αποτελείται από ελατήριο τότε το D=K και ο τύπος γίνεται όπου Κ η σταθερά του ελατηρίου (η Κ εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του ελατηρίου)

Να αποδείξετε ότι το σύστημα μάζα ελατήριο του σχήματος αν το διεγείρουμε κάνει Γ.Α.Τ. και να υπολογίσετε την περίοδο του. Δίνονται η μάζα m και η σταθερά ελατηρίου Κ.

Για να αποδείξω ότι ένα σώμα κάνει Γ.Α.Τ. πρέπει να δείξω ότι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι της μορφής:

F_ολ=-Dx

Σχεδιάζω για το ελατήριο την θέση του φυσικού του μήκους και ορίζω θετική φορά (τη φορά επιμήκυνσης του ελατηρίου).

Σχεδιάζω για το ελατήριο και το σώμα, την θέση ισορροπίας τους, καθώς και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, mg και

Σχεδιάζω για το ελατήριο και το σώμα μια τυχαία θέση τους, καθώς και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, mg και

mg

Θέση ισορροπίας:

(1)

Τυχαία θέση:

Άρα το σύστημα μάζα ελατήριο αν το διεγείρουμε κάνει Γ.Α.Τ. με D=K

Και περίοδο:

Δύο ίδια ελατήρια σταθεράς Κ εκτελούν Γ.Α.Α., και στα δύο η μάζα που ταλαντώνεται είναι ίδια. Αν το ένα ταλαντώνεται με πλάτος χ₀ και το άλλο με διπλάσιο πλάτος 2χ₀ ποιο από τα δύο ταλαντώνεται με την μεγαλύτερη περίοδο;

Και τα δύο ταλαντώνονται με την ίδια περίοδο γιατί η περίοδος σύμφωνα με τον τύπο δεν εξαρτάται από το πλάτος ταλάντωσης χ₀

Τι είδους ενέργεια έχει ένα σώμα που ταλαντώνετε, όταν βρίσκεται: α) στις ακραίες θέσεις;

β) στην θέση ισορροπίας; γ) σε μια ενδιάμεση θέση ;

Στις ακραίες θέσεις το σώμα έχει μέγιστη δυναμική ενέργεια.

Στη θέση ισορροπίας έχει μέγιστη κινητική ενέργεια.

Σε μια ενδιάμεση θέση έχει και δυναμική και κινητική.

Να διατυπωθεί η αρχή διατήρησης της ολικής ενέργειας στην ΓΑΤ με λόγια και με σύμβολα.

Η ολική ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται σταθερή.

=σταθερή

Να διατυπωθεί ο νόμος του απλού εκκρεμούς με λόγια και με σύμβολα και να αποδειχτεί.

Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι:

Ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του μήκους του.

Αντιστρόφως ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

Για να αποδείξω ότι ένα σώμα κάνει Γ.Α.Τ. πρέπει να δείξω ότι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι της μορφής:

F_ολ=-Dx

ορίζω θετική φορά (τη φορά επιμήκυνσης του σώματος).

(1)

Σχεδιάζω για το σώμα μια τυχαία θέση του, καθώς και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα,B= mg και T

Αναλύω το βάρος στους άξονες:

(2)

Τυχαία θέση:

Άρα το σύστημα κάνει Γ.Α.Τ.

με

Kαι περίοδο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 84

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση

του από τη θέση ισορροπία του είναι Χ=2ημ4t (το χ σε m, το t σε sec)

Να υπολογιστoύν τα παρακάτω:

α. το πλάτος της ταλάντωσης του.

β. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης του.

γ. Η περίοδος της ταλάντωσης.

δ. Η συχνότητα της ταλάντωσης.

ε. Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης και την ταχύτητα του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή.

ζ. Η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης και την επιτάχυνση του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. Από την σύγκριση του τύπου της απομάκρυνσης βρίσκουμε:

το πλάτος της ταλάντωσης του είναι: χ₀=2m

β. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης του είναι:

γ. Η περίοδος της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

δ. Η συχνότητα της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

ε. Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

Η ταχύτητα του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή υπολογίζεται από τον

τύπο:

ζ.

Η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

Η επιτάχυνση του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή υπολογίζεται από τον

τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 85

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και το πλάτος της

ταλάντωσης του είναι: Χ₀=2 mκαι η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=2s

Να υπολογησετε τα παρακάτω:

α. Την κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης του.

β. Την απομάκρυνση χ του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή

γ. Την ταχύτητα υ του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή.

δ. Την επιτάχυνση α του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α.

Η κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

β.

Η απομάκρυνση χ του σώματος της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

γ.

Η ταχύτητα του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή υπολογίζεται από τον

τύπο:

δ.

Η επιτάχυνση του σώματος μια τυχαία χρονική στιγμή υπολογίζεται από τον

τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 86

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση

του από τη θέση ισορροπία του είναι Χ=2ημ2πt (το χ σε m, το t σε sec)

Να βρείτε την απομάκρυνση του τις χρονικές στιγμές:

α) t=T/12

β) t=5T/12

Να θεωρήσετε ότι την χρονική στιγμή μηδέν το σώμα περνάει από την

θέση ισορροπίας του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. Από την σύγκριση του τύπου της απομάκρυνσης βρίσκουμε:

η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης του είναι:

Η περίοδος της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

Η απομάκρυνση χ του σώματος την χρονική στιγμή t=T/12 υπολογίζεται

από τον τύπο:

β.

Η απομάκρυνση χ του σώματος την χρονική στιγμή t=5T/12 υπολογίζεται

από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 87

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση

του από τη θέση ισορροπία του είναι Χ=4ημ2πt (το χ σε m, το t σε sec)

Να βρείτε την χρονική στιγμή t=T/8:

α) την ταχύτητα του .

β) την επιτάχυνση του.

Να θεωρήσετε ότι την χρονική στιγμή μηδέν το σώμα περνάει από την

θέση ισορροπίας του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. Από την σύγκριση του τύπου της απομάκρυνσης βρίσκουμε:

το πλάτος της ταλάντωσης του είναι: χ₀=4m

η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης του είναι:

Η περίοδος της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

Η ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή t=T/8 υπολογίζεται

από τον τύπο:

β.

Η επιτάχυνση του σώματος του σώματος την χρονική στιγμή t=T/8

υπολογίζεται από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 88

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση

του είναι Χ=2ημt (το χ σε m, το t σε sec)

Να βρείτε:

α) ποια χρονική στιγμή t,στη διάρκεια μιας περιόδου, η απομάκρυνση

του, θα είναι 1m.

β) το χρονικό διάστημα, από την στιγμή που το σώμα, καθώς

απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας του, βρίσκεται στην θέση 1m,

ώσπου να βρεθεί ξανά στην ίδια θέση, καθώς επιστρέφει προς την θέση

ισορροπίας του.

Να θεωρήσετε ότι την χρονική στιγμή μηδέν το σώμα περνάει από την

θέση ισορροπίας του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Για να βρω την χρονική στιγμή t που η απομάκρυνση του, θα είναι 1m

αντικαθιστώ στον τύπο της απομάκρυνσης όπου χ=1m και έχω:

ή

β. Το χρονικό διάστημα είναι:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 89

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Αν η ταχύτητα του

δίνεται από την γραφική παράσταση του

σχήματος. Να βρείτε:

α) Την κυκλική συχνότητα του.

β) το πλάτος της ταλάντωσης του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α)

Aπό την γραφική παράσταση του σχήματος η περίοδος της ταλάντωσης είναι T=2s

Η κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

β)

Aπό την γραφική παράσταση του σχήματος η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης ισούται:

Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης δίνεται από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 90

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και το πλάτος της

ταλάντωσης του είναι: x₀=0,2 m . Αν η μέγιστη τιμή της δύναμης

επαναφοράς είναι 100Ν.

Να υπολογησετε τα παρακάτω:

α) την σταθερά επαναφοράς D.

β) Την ενέργεια ταλάντωσης.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α)

Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς ασκείται στο σώμα όταν αυτό βρίσκεται

στην ακραία θέση όπου η απομάκρυνση του θα είναι x₀ άρα:

β) Η ενέργεια ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 91

Ένα σώμα μάζας m=0,2Kg εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και το

πλάτος της ταλάντωσης του είναι: Χ₀=0,2 m και η περίοδος της

ταλάντωσης είναι Τ=2πs

Να υπολογησετε τα παρακάτω:

α) την σταθερά επαναφοράς D.

β) Την ενέργεια ταλάντωσης.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

Η σταθερά επαναφοράς D υπολογίζεται από τον τύπο:

Η ενέργεια ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 92

Ένα σώμα μάζας m=1Kg εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Αν

μια χρονική στιγμή t, η απομάκρυνση του είναι Χ=1 cm και η επιτάχυνση

του α=-4m/s².

Να βρείτε:

α) Την περίοδο του.

β) Την δύναμη επαναφοράς την παραπάνω χρονική στιγμή.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η επιτάχυνση του σώματος του σώματος υπολογίζεται από τον τύπο:

Η περίοδος της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

Η σταθερά επαναφοράς D υπολογίζεται από τον τύπο:

Η δύναμη επαναφοράς την παραπάνω χρονική στιγμή είναι:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 93

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ=2s και

πλάτος χ₀=2 m. Αν η απομάκρυνση του είναι Χ=1 m.

Να βρείτε:

α) Την ταχύτητα του.

β) Την επιτάχυνση του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α)

Η κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:

Η επιτάχυνση του σώματος του σώματος υπολογίζεται από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 94

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση με πλάτος χ₀=2m.Να

βρεθεί η απομάκρυνση του όταν η κινητική του ενέργεια είναι ίση με την

δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Σύμφωνα με το πρόβλημα ισχύει:

(1)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 95

Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση με πλάτος χ₀=2m.Να

βρεθεί η απομάκρυνση του όταν η κινητική του ενέργεια είναι τριπλάσια

από την δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Σύμφωνα με το πρόβλημα ισχύει:

(1)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 96

Ένα απλό εκκρεμές με μήκος l=0,1m εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Να βρεθεί η περίοδος του.

Δίνεται g=10m/s².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

η περίοδος του απλού εκκρεμούς δίνεται από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 97

Ένα απλό εκκρεμές με μήκος l=1m και περίοδο Τ=2s εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Να βρεθεί η επιτάχυνση την βαρύτητας g.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

η περίοδος του απλού εκκρεμούς δίνεται από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 98

Ένα απλό εκκρεμές με περίοδο Τ=2s εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Να βρεθεί το μήκος του l ,αν η επιτάχυνση της βαρύτητας g=π² m/s².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

η περίοδος του απλού εκκρεμούς δίνεται από τον τύπο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 99

Ένα απλό εκκρεμές με περίοδο Τ₁=2s και μήκος l₁ εκτελεί γραμμική

αρμονική ταλάντωση. Ένα άλλο εκκρεμές με τετραπλάσιο μήκος

βρίσκεται στον ίδιο τόπο με το πρώτο. Ν α υπολογίσετε την περίοδο του

δεύτερου εκκρεμούς.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Σύμφωνα με το πρόβλημα ισχύει:

l₂=4 l₁ (1)

η περίοδος του απλού εκκρεμούς δίνεται από τον τύπο:

Διαιρούμε κατά μέλη:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 100

Να αποδείξετε ότι το σύστημα μάζα ελατήριο αν το διεγείρουμε κάνει Γ.Α.Τ. και να υπολογίσετε την περίοδο του. Δίνονται η μάζα m και η σταθερά ελατηρίου Κ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Για να αποδείξω ότι ένα σώμα κάνει Γ.Α.Τ. πρέπει να δείξω ότι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι της μορφής:

F_ολ=-Dx

Σχεδιάζω για το ελατήριο την θέση του φυσικού του μήκους και ορίζω θετική φορά (τη φορά επιμήκυνσης του ελατηρίου).

Σχεδιάζω για το ελατήριο και το σώμα την θέση ισορροπίας τους.

Σχεδιάζω για το ελατήριο και το σώμα μια τυχαία θέση τους, καθώς και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, στον οριζόντιο άξονα:

Τυχαία θέση:

Άρα το σύστημα μάζα ελατήριο αν το διεγείρουμε κάνει Γ.Α.Τ. με D=K

Και περίοδο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 101

Να αποδείξετε ότι το σύστημα μάζα ελατήριο αν το διεγείρουμε κάνει Γ.Α.Τ. και να υπολογίσετε την περίοδο του. Δίνονται η μάζα m και η σταθερά ελατηρίου Κ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Για να αποδείξω ότι ένα σώμα κάνει Γ.Α.Τ. πρέπει να δείξω ότι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι της μορφής:

F_ολ=-Dx

Σχεδιάζω για το ελατήριο την θέση του φυσικού του μήκους και ορίζω θετική φορά (τη φορά επιμήκυνσης του ελατηρίου).

Σχεδιάζω για το ελατήριο και το σώμα την θέση ισορροπίας τους, καθώς και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, στον άξονα του κεκλιμένου επιπέδου xx^´:

mgημθ και

Σχεδιάζω για το ελατήριο και το σώμα μια τυχαία θέση τους, καθώς και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, στον άξονα του κεκλιμένου επιπέδου xx´:

mgημθ και

Θέση ισορροπίας:

(1)

Τυχαία θέση:

Άρα το σύστημα μάζα ελατήριο αν το διεγείρουμε κάνει Γ.Α.Τ. με D=K

Και περίοδο: